Een Zoektocht Naar De Oudste Beschavingen.
22 – De Piramide van Cheops. Waarschijnlijk het grootste rekenkundig vraagstuk uit de oudheid. |
||
Eerste versie 25 april 2009. Noot: De tekeningen in dit en volgende hoofdstukken in verband met het inwendige van Cheops' piramide zijn niet altijd helemaal correct, er kunnen afwijkingen tot 1 cubit zitten in de tekeningen en in de maatgevingen. Toen de piramide van Cheops werd gebouwd hanteerden de bouwers uiteraard andere lengtematen dan deze die we hedendaags kennen, wij gebruiken de meter met als onderverdeling de centimeter. De Engelse lengtematen zijn de yard, foot en inch. Het boek van Sir Flinders Petrie [1] mag in verband met de afmetingen van de piramide best de standaard genoemd worden, daarin zijn voor het overgrote deel de maatgevingen uitgedrukt in inches (1 inch = 2,54 cm). Om enig resultaat te bereiken moeten we identiek dezelfde maten gebruiken als de Oud Egyptenaren, hun lengtemaat was wat wij nu de Koninklijke El (Mahe) noemen. In het Engels is dit de Royal cubit, gezien het feit dat bij de bouw van Cheops piramide nooit de gewone el werd gebruikt gaan we in het vervolg steeds spreken van de cubit, daarmee bedoelen we dan eigenlijk de Koninklijke el. De cubit werd door Petrie afgeleid uit de piramiden zelf, door vele maten in de piramiden te vergelijken heeft hij de lengte van die el kunnen bepalen, uit geschriften en vondsten (meetstokken etc.) is men bovendien te weten gekomen dat de cubit nog verder onderverdeeld werd in zeven (hand)palmen en iedere palm nog eens in vier digits (vingerbreedten). Petrie heeft uit de piramide van Cheops de gemiddelde lengte van de toen gebruikte el kunnen afleiden en heeft die vastgelegd op 20,62 inch (1 inch = 2,54 cm). Omgerekend naar onze eenheden komt dit neer op een lengte van 0,5237 m. of 52,37 cm. Voor de gemiddelde lengte van de cubit, berekend voor alle piramiden van de 4é tot de 6é dynastie, kwam Petrie uit op 1 cubit = 20,63 inch (20,63 inch x 2,54 cm/inch = 52,40 cm).
Sir Flinders Petrie - Extract uit [1]
The passage widths are so short and variable that little value can be placed on them, especially as they depend on the builder's and not on the mason's work. The lengths of the passages are very accurate data, but being only single measures, are of less importance than are chambers, in which a length is often repeated in the working. The chamber dimensions are rather variable, particularly in the subterranean and Antechamber, and none of the above data are equal in quality to the King's Chamber dimensions. If a strictly weighted [p. 179] mean be taken it yields 20.620 ± .004; but taking the King's Chamber alone, as being the best datum by far, it nevertheless contracts upwards, so that it is hardly justifiable to adopt a larger result than 20.620 ± .005. Petrie [1]
We bekomen een gelijkbenige driehoek die uiteraard een basis heeft van 440 cubits en een hoogte van 280 cubits. Bij deze afmetingen is de tophoek 76° (76,31°) en de basishoeken zijn 52° (51,84°). In het begin was er aan de buitenkant van Cheops’ piramide niets te bemerken van het inwendige, mogelijks met als enige uitzondering de twee verluchtingsschachten van de koningskamer die helemaal tot buiten kwamen. Of die nu van in den beginne al dan niet zichtbaar waren weten we niet maar dit zijn wellicht de eerste punten geweest die ontdekt werden. Dit is de allereerste hint die de bouwers voor ons achtergelaten hebben om het vraagstuk op te lossen, indien we die punten goed bestuderen moet daar vast iets mee aan te vangen zijn.
Op een zekere dag zal men onvermijdelijk die punten wel eens trachten te verbinden met de hoekpunten van de driehoek, ieder punt (waar de luchtschacht naar buiten komt) kan slechts met één hoekpunt verbonden worden. Als logisch gevolg zal men ook wel eens de loodlijn tekenen vanuit de top van de driehoek naar de basis. Nu ja, de luchtschachten moesten ergens naar buiten komen maar daarvoor kon, vanaf een zekere hoogte, gelijk welk willekeurig punt gekozen worden. De punten waar die schachten naar buiten komen moeten vast een belangrijke betekenis hebben, de ontwerpers van de piramide hebben waarschijnlijk de bedoeling gehad onze aandacht te trekken op het snijpunt dat ontstaat door de hoekpunten aan de basis van de driehoek te verbinden met de punten waar de luchtschachten naar buiten komen. Beide lijnen hebben één snijpunt, ook de loodlijn getrokken vanuit de top gaat door dat ene snijpunt. Maar, om welk punt gaat het hier eigenlijk? In een driehoek kunnen er nogal wat specifieke punten bepaald worden. Onder de belangrijkste hebben we vooreerst het zwaartepunt, dit punt ligt in dit geval bij een gelijkbenige driehoek, loodrecht onder de top op exact één derde van de hoogte van de driehoek (93,33 cubits). De verbindingslijnen van de basishoeken, door het zwaartepunt getrokken komen buiten de driehoek op een hoogte van 140 cubits.
Een ander belangrijk punt in een driehoek is het middelpunt, dit wordt bekomen door uit ieder hoekpunt van de driehoek de bissectrice te tekenen. Deze lijnen delen de hoeken in twee gelijke delen. Afgerond zijn de basishoeken 52°, de bissectrices gaan die verdelen in twee gelijke hoeken van 26°. De som van de hoeken van een driehoek is steeds gelijk aan 180°, de tophoek is dus [180° – (52° + 52°)] = 76°, de bissectrice in de tophoek deelt die in twee gelijke hoeken van 38°. Uit de tekening wordt duidelijk dat middelpunt zich op een hoogte bevindt van 106,92 cubits. In het middelpunt kan een ingeschreven cirkel getrokken worden met een straal van 106,92 cubits, deze raakt aan de drie zijden van de driehoek. Trekken we de bissectrices van de basishoeken door dan komen die buiten de driehoek op een hoogte van 154,75 cubits.
Op welke hoogte komen de verluchtingsschachten van de piramide nu werkelijk naar buiten? Rudolf Gantenbrink geeft op zijn website www.cheops.org [2] (hoofdstuk publications) een eenvoudige manier om de voornaamste punten van de piramide te bepalen. Afgaand op de figuren (figuur 7, 8 en 9) op zijn website hebben we onderstaande tekening gemaakt.
Uit bovenstaande tekening wordt duidelijk dat (volgens Gantenbrink) beide luchtschachten buiten de piramide komen op een hoogte van 154 cubits. Die hoogte stemt het best overeen met het middelpunt van de piramide, de bissectrices komen naar buiten op een hoogte van 154,75 cubits, de hoek die deze maken met het grondvlak is 26° en dit is dezelfde hoek als deze van de afdalende gang, de opgaande gang en de grote galerij. Dit sterkt het vermoeden dat de ontwerpers inderdaad onze aandacht wilden vestigen op het middelpunt van de piramide. Sir Flinders Petrie heeft de piramide van Cheops heel nauwkeurig opgemeten en vrijwel al deze gegevens opgenomen in zijn boek “The Pyramids and Temples of Gizeh” [1], onderstaande tekeningen komen origineel uit dit boek dat eveneens op twee websites [3] online beschikbaar werd gesteld.
De onderkant van de noordelijke luchtschacht komt, volgens Petrie althans, gelijk met de bovenkant van bouwlaag 102 op een hoogte van 3119,8 inch. Deze schacht zou dus één bouwlaag lager naar buiten komen. Ofwel heeft Petrie zich vergist, ofwel waren het de bouwers die wat slordig tewerk zijn gegaan. De hoogte van 3.119,8 inch komt overeen met 151,34 cubits. Hoewel het de bedoeling is geweest om beide schachten op identiek dezelfde hoogte naar buiten te brengen zit er op de uitvoering ervan toch een licht verschil van 152,76 – 151,34 = 1,42 cubits, de gemiddelde hoogte voor beide schachten bedraagt 152,05 cubits. Tussen de gegevens volgens Gantenbrink en Petrie is dit een verschil van zo’n twee cubits (154 - 152,05). Volgens de bissectrices door het middelpunt zou dit 154,75 cubits moeten zijn, wat een verschil geeft tussen het door ons bepaald middelpunt en Petrie van 2,8 cubits. Tussen de lijnen die door het middelpunt gaan en de gegevens van Gantenbrink is er slechts een verschil van 0,75 cubits (154,75 - 154). We kunnen dus gerust aannemen dat het de bedoeling is geweest om het middelpunt van de piramide aan te geven, dit punt ligt exact onder de top op een hoogte van 106,92 cubits boven het grondvlak van de piramide. Het middelpunt van de piramide.
Het middelpunt (M) van de piramide op bovenstaande tekening ligt exact onder de top en 106,92 cubits boven de basis. De opgaande gang en de grote galerij gaan uit in de richting van het middelpunt en de koningskamer ligt daar heel dicht tegen. Het is vrij duidelijk dat de grote galerij en de koningskamer heel dicht tegen dat punt komen maar gelijktijdig dat punt tevens angstvallig vermijden. Voelt u het ook aan dat alles om het middelpunt draait, dat dit veruit het belangrijkste punt van de piramide is?
Op de detailtekening kunnen we zien dat de grote galerij en de koningskamer zeer dicht tegen het middelpunt komt maar er is echter geen enkele gang of kamer die tot in dat punt zelf komt. Dit mag op zijn minst opvallend worden genoemd, zou u niet verwachten dat de allerbelangrijkste kamer juist onder de top zou liggen? Indien de koningskamer echt de graftombe van Cheops was dan had die exact onder de top van de piramide moeten liggen, waarom is dit hier niet het geval? We moeten dus een weg zoeken om in het middelpunt van de piramide te komen, er moet daar een kamer zijn en louter afgaand op het gevoel moet het middelpunt van de piramide precies in de vloer van die kamer liggen. ------------------------------------------------------------------ Verwijzingen bij hoofdstuk 22. 1 - Petrie, Sir William Matthew Flinders 2 - Gantenbrink, Rudolf. 3 - Petrie, Online boek: |
